Hagenův-Poiseuillův zákon

Hagenův-Poiseuillův vztah (čti hagen, poazej) říká, že objemový tok $Q$ (objem za čas) tekutiny v trubici je přímo úměrný rozdílu tlaků $\Delta {P}$ na začátku a na konci trubice

$Q={\frac {\Delta {P}}{R}}$

Konstanta úměrnosti $R$ vyjadřuje odpor. Zahrnuje v sobě viskozitu tekutiny $\eta$, čtvrtou mocninu poloměru trubice $r$ a délku trubice $L$ podle vztahu:

$R={\frac {8\eta L}{\pi r^{4}}}$

Kombinací těchto dvou rovnic do jedné získáme Hagenův-Poiseuillův vztah v plném tvaru:

$Q={\frac {\Delta {P}\cdot \pi r^{4}}{8\eta L}}$

Hagenův-Poiseuillův vztah můžeme přirovnat k Ohmovu zákonu v elektřině: rozdíl tlaků odpovídá elektrickému napětí, objemový tok odpovídá elektrickému proudu a odpor trubice elektrickému odporu.

Závislost odporu $R$ (a tedy i objemového toku $Q$) na vysoké mocnině poloměru $r$ má praktický význam při regulaci toku krve cévou – i malé zúžení arterioly vede k rychlému snížení průtoku krve (viz dále).

 Podrobnější informace naleznete na stránce Hagenův-Poiseuillův zákon/Odvození.

Příklad využití ve fyziologii

Podívejme se na aplikaci tohoto vzorce v ledvině.

• $Q$ je množství krve, které proteče ledvinou za jednotku času (průtok)
• $\Delta P$ je rozdíl tlaku mezi a. renalis a v. renalis
• $R$ je celkový odpor renálního krevního řečiště

Je žádoucí, aby průtok $Q$ zůstal relativně nezávislý na výkyvech krevního tlaku v těle. Na druhé straně ale $\Delta P$ závisí na tlaku krve. Zvýší-li se $\Delta P$ (vlivem změny krevního tlaku), pak by měl následovat vzestup $Q$. Vzestup tlaku v cévách ledviny ale reflexně vyvolá jejich vazokonstrikci, tedy zmenšení poloměru cévy $r$. Menší poloměr znamená výrazné zvýšení (čtvrtá mocnina) odporu $R$. Nárůst odporu (jmenovatel) tedy vykompenzuje nárůst tlaku (čitatel), čímž se průtok prakticky nezmění. Tento mechanizmus se nazývá myogenní autoregulace.

Odkazy

Související články

• Stokesův zákon
• Viskozita
• Newtonovská kapalina

Použitá literatura

• CHMELÍK, František. Skripta k předmětu Fyzika I [online]. [cit. 2010-06-18]. <https://material.karlov.mff.cuni.cz/people/hajek/skripta/>.

• KITTNAR, Otomar, et al. Lékařská fyziologie. 1. vydání. Praha : Grada, 2003. 790 s. ISBN 978-80-247-3068-4.