Hagenův-Poiseuillův zákon/Odvození

${\frac {\Delta V}{\Delta t}}\left(Q\right)=\Delta P\cdot {\frac {\pi }{8}}\cdot {\frac {1}{\eta }}\cdot {\frac {R^{4}}{L}}$

Objemový tok Q je přímo úměrný rozdílu tlaků na začátku a na konci trubice (ΔP) a čtvrté mocnině jejího poloměru (praktický význam při zmenšení průměru arterioly).

Odvození

K odvození je třeba rozumět základům integrálního počtu.

Odvození vychází z Newtonova zákona o tečných napětích v kapalině. Hagen-Poiseuillův zákon proto platí pro newtonovské kapaliny. Newtonův zákon pro kapalinu proudící laminárním prouděním v trubici s rychlostí ve směru osy x, na níž je umístěna stěna trubice, zatímco na osu y je umístěn průměr trubice, má tvar:

$\tau =-\eta {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}y}}$.

Tečné napětí $\tau$, vzniklé třením mezi stěnou a proudící kapalinou, se přenáší na další vrstvy kapaliny, a působí tak pokles tlaku mezi začátkem a koncem trubice. Síla tření bude tedy vznikat na styku stěny trubice a kapaliny a dá se vyjádřit jako:

$F_{t}={\text{obvod}}\cdot {\text{delka trubice}}\cdot \tau =2\pi y\cdot L\cdot \tau =-2\pi y\cdot L\cdot \eta {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}y}}$.

Tato síla bude působit úbytek tlakové síly:

$F_{p}=2\pi y^{2}\Delta P$.

Z rovnosti těchto sil pak dostáváme:

${\text{d}}v=-{\frac {\Delta P}{2L\eta }}\cdot y{\text{d}}y$,

a po integraci:

$v=\int {\text{d}}v=-{\frac {\Delta P}{2L\eta }}\int y{\text{d}}y=-{\frac {\Delta P}{2L\eta }}\cdot {\frac {y^{2}}{2}}+C$,

a dosazení za integrační konstantu C dle počátečních podmínek (u stěny je nulová rychlost, y = r):

$v={\frac {\Delta P}{4L\eta }}\cdot (r^{2}-y^{2})$.

Rychlost má tedy parabolický profil.

Pro rychlost platí:

$v={\frac {{\text{d}}Q}{{\text{d}}S}}$,

tedy pro objemový tok získáme:

$Q=\int _{0}^{r}{\text{d}}Q=\int _{0}^{r}v{\text{d}}S=\int _{0}^{r}{\frac {\Delta P}{4L\eta }}\cdot (r^{2}-y^{2})2\pi y{\text{d}}y={\frac {\Delta P\pi }{2L\eta }}\cdot (\int _{0}^{r}r^{2}y{\text{d}}y-\int _{0}^{r}y^{3}{\text{d}}y)={\frac {\Delta P\pi }{2L\eta }}\cdot ({\frac {r^{4}}{2}}-{\frac {r^{4}}{4}})$.

Čímž jsme získali výsledný tvar Hagen-Poiseuillova zákona:

$Q={\frac {\Delta P\pi r^{4}}{8L\eta }}$.

Odkazy

Související články

• Stokesův zákon
• Viskozita
• Newtonovská kapalina

Použitá literatura

• CHMELÍK, František. Skripta k předmětu Fyzika I [online]. [cit. 2010-06-18]. <http://material.karlov.mff.cuni.cz/people/hajek/skripta/>.