Superprostor

Superprostor je souřadnicový prostor teorie vykazující supersymetrii. V takové formulaci, spolu s obyčejnými prostorovými dimenzemi (x, y, z...), existují také "nekomutující" dimenze, jejichž souřadnice jsou označeny spíše v Grassmannových číslech než v reálných číslech. Běžné prostorové rozměry odpovídají bosonickým stupňům volnosti, antikomutační rozměry fermionickým stupňům volnosti.

Slovo „superprostor“ poprvé použil John Wheeler v nesouvisejícím smyslu k popisu konfiguračního prostoru obecné teorie relativity; například, toto použití může být viděno v jeho učebnici z roku 1973 Gravitation.

Neformální diskuse

Existuje několik podobných, ale ne ekvivalentních definic superprostoru, které byly použity a nadále se používají v matematické a fyzikální literatuře. Jedno takové použití je jako synonymum pro super Minkowského prostor. V tomto případě vezmeme běžný Minkowského prostor a rozšíříme jej o nekomutující fermionické stupně volnosti, které jsou považovány za nekomutující Weylovy spinory z Cliffordovy algebry spojené s Lorentzovou grupou. Ekvivalentně lze prostor super Minkowského chápat jako podíl super Poincarého algebry modulo algebry Lorentzovy grupy. Typický zápis souřadnic na takovém prostoru je $(x,\theta ,{\overline {\theta }})$.

Superprostor se také běžně používá jako synonymum pro supervektorový prostor. To je považováno za běžný vektorový prostor spolu s dalšími souřadnicemi převzatými z Grassmannovy algebry, tj. směry souřadnic, které jsou Grassmannovými čísly. Existuje několik konvencí pro konstrukci supervektorového prostoru v použití; dva z nich popsali Rogers a DeWitt.

Třetí použití termínu „superprostor“ je jako synonymum pro supermanifold: supersymetrické zobecnění manifoldu. Všimněte si, že jak super Minkowského prostory, tak super vektorové prostory mohou být považovány za speciální případy supervariet.

Čtvrtý a zcela nesouvisející význam má malé využití v obecné relativitě; to je probráno podrobněji dole

PŘÍKLADY

Několik příkladů je uvedeno níže. Prvních několik předpokládá definici superprostoru jako supervektorového prostoru. Toto je označeno jako

${\vec {R}}$^m|n, ${\vec {Z}}$₂-gradovaný vektorový prostor.^m|n${\vec {C}}$ jako lichý podprostor. Stejná definice platí pro ⁿ ${\vec {R}}$ jako sudým podprostorem a ^m ${\vec {R}}$s

Čtyřrozměrné příklady považují superprostor za super Minkowského prostor. Ačkoli je podobný vektorovému prostoru, má mnoho důležitých rozdílů: Především je to afinní prostor, který nemá žádný zvláštní bod označující počátek. Dále jsou fermionové souřadnice považovány za protidojížďkové Weyl spinory z Cliffordovy algebry< a i=8>, nikoli Grassmannova čísla. Rozdíl je v tom, že Cliffordova algebra má podstatně bohatší a jemnější strukturu než Grassmannova čísla. Grassmannova čísla jsou tedy prvky vnější algebry a Cliffordova algebra má izomorfismus k vnější algebře, ale její vztah k  zcela mimo běžné meze a zájmy fyziky.) ,Riemannovy geometrie, dávají tomu hluboký geometrický význam. (Například spinové skupiny tvoří normální součást studia zobrazení rotace, které se používají ke konstrukci spinová grupa a ortogonální grupa

ZDROJE