Normální rozdělení

Typický tvar křivky, která popisuje hustotu pravděpodobnosti normálního rozdělení

Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení, Gaussova distribuce, Laplaceovo-Gaussovo rozdělení) patří mezi nejdůležitější rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Náhodné děje vyskytující se v přírodě či společnosti lze dobře modelovat právě normálním rozdělením. Jako příklad takového náhodného děje, který se řídí normálním rozdělením, může sloužit např. IQ nebo výšky v populaci, vitální kapacity plic nebo třeba chyby měření Řada dalších rozdělení se při dostatečně velkém vzorku k normálnímu rozdělení číselně blíží, takže lze využít tabelovaných hodnot distribuce např. k výpočtu problémů modelovatelných binomickým rozdělením. Jiná rozdělení lze na normální poměrně snadno transformovat, např. tzv. lognormální rozdělení popisující stáří bílých krvinek v periferní krvi. K normálnímu rozdělení patří často zmiňované náhodné chyby, např. chyby měření, způsobené velkým počtem neznámých a vzájemně nezávislých příčin. Proto bývá normální distribuce také označována jako zákon chyb. Tímto zákonem se také řídí rozdělení některých fyzikálních a technických veličin. Normální rozdělení plně charakterizují dvě konstanty: střední hodnota μ a rozptyl σ². Pokud chceme napsat, že náhodná veličina X (tedy např. výsledek pokusu) má náhodné rozdělení se střední hodnotou μ a rozptylem σ², obvykle použijeme označení:

$X\ \sim \ N(\mu ,\sigma ^{2})$

Gaussova křivka

Normální rozdělení (Gaussova křivka).

Graf znázorňuje hustotu normálního rozdělení se střední hodnotou rovnou μ a směrodatnou odchylkou rovnou σ. Hodnota funkce říká, v jakých oblastech je výsledek náhodného pokusu více pravděpodobný a v jakých méně. Výsledky poblíž střední hodnoty μ jsou pravděpodobnější než odlehlé.

Gaussova křivka (hustota pravděpodobnosti) je vlastně funkcí o dvou parametrech: střední hodnoty μ a rozptylu σ². Gaussova křivka je symetrická, střední hodnota μ leží právě pod jejím vrcholem (viz např.). Tvar křivky s extrémem v místě střední hodnoty vlastně říká to, že při opakování náhodného pokusu řídícího se normálním rozdělením budou nejčastěji vycházet hodnoty v okolí střední hodnoty. Symetrie křivky pak říká to, že výsledky vychýlené nad i pod střední hodnotu budou vycházet zhruba stejně často. Parametr σ² určuje, jak těsně se křivka přimyká střední hodnotě; čím nižší je tento parametr, tím je graf „ostřejší“. V praxi se často používá tzv. pravidlo tří sigma, někdy i dvou nebo jednoho sigma. Platí totiž, že výsledek náhodného pokusu s rozdělením N (μ,σ²) leží v intervalu:

• (μ – σ, μ + σ) s pravděpodobností 68,27 %,
• (μ – 2σ, μ + 2σ) s pravděpodobností 95,45 %,
• (μ – 3σ, μ + 3σ) s pravděpodobností 99,73 %.

Význam Gaussovy křivky

Význam křivky popisující hustotu pravděpodobnosti si lze představit konstrukcí z histogramu, tedy sloupcového diagramu tvořeného obdélníky, které mají pevně zvolenou šířku základny na ose x odpovídající zvolenému intervalu (např. při měření výšky můžeme vytvořit kategorie po pěti centimetrech). Výška obdélníku (tedy rozměr v ose y) pak odpovídá četnosti dané třídy. Pokud budeme mít výsledky z pokusu s normálním rozdělením a budeme šířku jedné kategorie limitně snižovat k nule, dostaneme právě hustotu pravděpodobnosti normálního rozdělení. Předmětem zájmu statistické inference je zjišťování číselných charakteristik rozsáhlých souborů z malých vzorků. Pokud předpokládáme, že má sledovaný znak normální rozdělení, zajímají nás odhady střední hodnoty a rozptylu (nebo směrodatné odchylky, což je vlastně odmocnina z rozptylu). Odhadem střední hodnoty z konečného počtu pokusů je aritmetický průměr, modus i medián, číselně bývají shodné, nejsnáze se počítá aritmetický průměr. Poměrně často je známý jen jeden výběr z populace a jeho aritmetický průměr ${\overline {x}}$ a nás zajímá, jak dobrý je to odhad střední hodnoty. Jinými slovy nás zajímá, v jakém pásmu kolem zjištěného aritmetického průměru se s předem stanovenou pravděpodobností nachází skutečná střední hodnota. Tento interval se nazývá interval spolehlivosti, podle anglického confidence interval se někdy hovoří i o konfidenčním intervalu. Pokud je známá směrodatná odchylka σ dané populace, má interval spolehlivosti tvar:

$\left\langle {\bar {x}}-y_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\,,\,{\bar {x}}+y_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right\rangle$

Koeficient spolehlivosti $(1-\alpha )$ je pravděpodobnost, že se $\mu$ vyskytuje v intervalu spolehlivosti, používá se 95 nebo 99 %; přesnost je poloviční délka/šířka intervalu. $y_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ je kvantil normovaného normálního rozdělení s hodnotami $\mu =0$ a $\sigma =1$. Výběrový průměr výběru o rozsahu n pro náhodnou veličinu s normálním rozložením (μ, σ²) je také náhodná veličina s normálním rozložením. Čím je rozsah výběru n větší, tím vyšší a užší je křivka hustoty rozložení pravděpodobnosti. Vysoký štíhlý graf odpovídá užšímu intervalu spolehlivosti. Pokud chceme zmenšit interval spolehlivosti, tedy získat větší jistotu v odhadu skutečné střední hodnot, je třeba zvyšovat počet měření. Lze postupovat i opačně, totiž že si k předem stanovené šíři intervalu spolehlivosti a hladině významnosti vypočítáme, kolik měření musíme provést. Pokud hodnotu směrodatné odchylky σ neznáme, odhadujeme ji na základě výběru o rozsahu $n$ pomocí výběrové směrodatné odchylky s a v odhadu intervalu spolehlivosti budou vystupovat kvantily Studentova rozdělení. Pokud je však počet měření větší než 30, je rozdíl mezi Studentovým a normálním rozdělením prakticky zanedbatelný.

Testy normality

 Podrobnější informace naleznete na stránce Testy normality.

Řadu statistických metod lze aplikovat pouze na výběrové soubory pocházející z normálního rozdělení. K určení, zda lze rozdělení dat považovat za normální, slouží testy normality (např. Shapirův-Wilkův test). Většina statistického softwaru implementuje nějakou formu testů normality. Normalitu rozdělení dat lze hodnotit též graficky, například pomocí histogramu nebo krabicového grafu. Přesnější (a použitelné i pro testování jiných rozdělení) je použití Q-Q grafu nebo P-P grafu. Velmi hrubý odhad míry normality dat dostaneme prostým porovnáním aritmetického průměru a mediánu; podle některých autorů^[zdroj?]by se neměly lišit o více než 10 %.

Odkazy

Související články

• Testy normality

Použitá literatura

• GEIZEROVÁ, Helena, et al. Epidemiologie : vybrané kapitoly pro seminární a praktická cvičení. 1. vydání. Praha : Karolinum, 1995. 83 s. ISBN 80-7184-179-X.

• ZVÁROVÁ, Jana. Základy statistiky pro biomedicínské obory. 2. vydání. Praha : Karolinum, 2011. 219 s. Biomedicínská statistika; sv. I. ISBN 978-80-246-1931-6.