Fórum:Testy/Pearsonův korelační koeficient

Pearsonův korelační koeficient měří sílu lineární závislosti mezi dvěma veličinami. Pomůže nám například vyčíslit, jak silná je vazba mezi výsledky ve dvou různých testech, nebo mezi výsledkem v testu a průměrnou známkou na vysvědčení.

Tip: Korelace neznamená kauzalitu

Pokud spolu dva jevy korelují, pak jsou pravděpodobně provázané (závislé), ale nelze z toho soudit na kauzální souvislost, tj. že by jeden jev byl příčinou a druhý následkem. V západním Německu v sedmdesátých letech velmi dobře koreloval vývoj porodnosti s poklesem počtu hnízdících čapích párů . Nutně to však neznamená, že by současná představa o reprodukci populace musela být neprodleně zavržena. Obr. 10.3

Tip: Korelace neznamená kauzalitu

Předpokládáme, že máme u $n$ jedinců dvojice hodnot $(X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),...,(X_{n},Y_{n}).$ Pearsonův korelační koeficient je pak dán vztahem

$r={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}}},$

kde ${\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ je aritmetický průměr prvních měření a ${\bar {Y}}$ je aritmetický průměr druhých měření.

Ekvivalentně lze Pearsonův korelační koeficient vyjádřit pomocí součinů z-skórů

$r={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\bar {X}}}{s_{X}}}\right)\left({\frac {Y_{i}-{\bar {Y}}}{s_{Y}}}\right)$

kde $s_{X}={\sqrt {{1 \over n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}$ je směrodatná odchylka (standard deviation, SD) prvních měření, $s_{Y}$ směrodatná odchylka druhých měření. z-skór $\left({\frac {X_{i}-{\bar {X}}}{s_{X}}}\right)$ říká, jak daleko je hodnota $X_{i}$ od průměru ${\bar {X}},$ přičemž za jednotku vzdálenosti bereme směrodatnou odchylku $s_{X}.$

V případě, kdy jeden ze znaků je binární (např. sledujeme-li závislost binární položky Y a celkového počtu bodů X, tzv. index RIT), se korelační koeficient redukuje na tzv. bodově-biseriální korelační koeficient

$r_{bis}={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{0}}{s}}{\frac {n_{0}n_{1}}{n(n-1)}},$

kde ${\bar {X}}_{1}$ je průměr celkového počtu bodů těch studentů, kteří mají hodnotu sledované položky rovnou 1, ${\bar {X}}_{0}$ je průměr celkového počtu bodů těch studentů, kteří mají hodnotu sledované položky rovnou 0, $s^{2}$ je směrodatná odchylka celkových bodových zisků, $n_{1}$ je počet jedniček a $n_{0}$ je počet nul.

Korelační koeficient nabývá pouze hodnot z intervalu od -1 do 1. Svých extrémních hodnot (tedy 1 a -1) nabývá pouze pokud všechny body $(X_{i},Y_{i})$ leží na jedné přímce. Korelační koeficient je roven 1, pokud je mezi veličinami vztah přímé úměry (tedy čím větší je hodnota jedné veličiny, tím větší je hodnota i druhé veličiny). Pokud je mezi veličinami vztah nepřímé úměry, je korelační koeficient roven -1.

Obr. 10.4 Korelační koeficient nabývající hodnot z intervalu od -1 do 1

Jsou-li veličiny nezávislé, je korelace mezi nimi nulová. Nicméně Pearsonův korelační koeficient je pouze odhad populačního korelačního koeficientu, a při každém výběru n-tice studentů vyjde hodnota odhadu nepatrně jiná. Proto i pro nezávislé náhodné veličiny zpravidla vyjde Pearsonův korelační koeficient nenulový. Nulovost pak můžeme testovat pomocí statistického testu (viz např. ).