Tlumený harmonický oscilátor: Porovnání verzí
Feedback

Z WikiSkript

(ReRe KO)
(úprava rovnic)
 
(Není zobrazeno 6 mezilehlých verzí od 4 dalších uživatelů.)
Řádek 1: Řádek 1:
{{Zkontrolováno | 20130105232041 | [[User:Kychot|RNDr. Petr Heřman]]|403660|20180415195748}}
{{Zkontrolováno | 20130105232041 | [[User:Kychot|RNDr. Petr Heřman]]|421740|20190211091234}}


S tlumeným harmonickým oscilátorem se setkáváme v reálných podmínkách. (Na rozdíl od [[harmonický oscilátor|harmonického oscilátoru]], který by mohl existovat jen v ideálních podmínkách). Dochází u něj k částečné přeměně energie [[kmitavý pohyb|kmitavého pohybu]] na jiné formy energie (například na [[vnitřní energie|vnitřní energii]] nebo na energii potřebnou k překonání třecí síly) a vzniká tlumené kmitání. Pokud dodáme energii pouze na začátku pohybu, pohyb postupně úplně zanikne.  
S tlumeným harmonickým oscilátorem se setkáváme v reálných podmínkách. (Na rozdíl od [[harmonický oscilátor|harmonického oscilátoru]], který by mohl existovat jen v ideálních podmínkách). Dochází u něj k částečné přeměně energie [[kmitavý pohyb|kmitavého pohybu]] na jiné formy energie (například na [[vnitřní energie|vnitřní energii]] nebo na energii potřebnou k překonání třecí síly) a vzniká tlumené kmitání. Pokud dodáme energii pouze na začátku pohybu, pohyb postupně úplně zanikne.
== Tlumené kmitání ==
== Tlumené kmitání ==
Jak už bylo na začátku řečeno, s tlumeným kmitáním se setkáváme v případě, že se část energie kmitavého pohybu přemění na energii jinou. Tlumení kmitání harmonického oscilátoru je závislé na [[hustota prostředí|hustotě prostředí]], ve kterém kmitá. Tlumení je větší ve [[Voda|vodě]] než na vzduchu. Dále je závislé na rychlosti, kterou oscilátor kmitá.
Jak už bylo na začátku řečeno, s tlumeným kmitáním se setkáváme v případě, že se část energie kmitavého pohybu přemění na energii jinou. Tlumení kmitání harmonického oscilátoru je závislé na '''hustotě prostředí''', ve kterém kmitá. Tlumení je větší ve [[Voda|vodě]] než na vzduchu. Dále je závislé na rychlosti, kterou oscilátor kmitá.
<br />  
<br />
Tlumené kmitání můžeme popsat rovnicí '''<big>y=e<sup>-(b.t)/2m</sup>. y<sub>m</sub>. sin(ωt +φ<sub>0</sub>)</big>''', kde '''b''' je [[konstanta úměrnosti]] mezi odporovou silou a rychlostí tělesa a '''m''' hmotnost tělesa.
Tlumené kmitání můžeme popsat rovnicí <math>y=e^{-\frac{b\cdot t}{2m}}\cdot y_{m}\cdot\sin(\omega t+\phi_{0})</math>, kde <math>b</math> je ''konstanta úměrnosti'' mezi odporovou silou a rychlostí tělesa a <math>m</math> hmotnost tělesa.
<br />
<br />
== Vlastnosti tlumeného oscilátoru ==
== Vlastnosti tlumeného oscilátoru ==
Na rozdíl od netlumeného harmonického oscilátoru, kde je [[amplituda]] konstantní, se u tlumeného harmonického oscilátoru amplituda exponenciálně zmenšuje (až se stane po určitém čase nulovou). [[Úhlová frekvence]] '''ω''' bude menší, než by za samých podmínek byla u netlumeného oscilátoru, a je dána vztahem '''ω= <math>\sqrt{}</math> (ω <sub>0</sub><sup>2</sup> - δ <sup>2</sup>)''', kde '''ω <sub>0</sub>''' je úhlová frekvence netlumeného kmitání a '''δ''' je součinitel tlumení (veličina vyjadřující vliv prostředí na kmitavý pohyb mechanického oscilátoru).
Na rozdíl od netlumeného harmonického oscilátoru, kde je [[amplituda]] konstantní, se u tlumeného harmonického oscilátoru amplituda exponenciálně zmenšuje (až se stane po určitém čase nulovou). ''Úhlová frekvence <math>\omega</math> bude menší, než by za samých podmínek byla u netlumeného oscilátoru, a je dána vztahem <math>\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}</math>, kde <math>\omega_{0}</math> je úhlová frekvence netlumeného kmitání a <math>\delta</math> je součinitel tlumení (veličina vyjadřující vliv prostředí na kmitavý pohyb mechanického oscilátoru).
Z toho, že úhlová frekvence tlumeného harmonického oscilátoru bude menší než u netlumeného, můžeme dále odvodit, že frekvence bude také menší a [[perioda]] vyšší.
Z toho, že úhlová frekvence tlumeného harmonického oscilátoru bude menší než u netlumeného, můžeme dále odvodit, že frekvence bude také menší a [[perioda]] vyšší.


Řádek 14: Řádek 14:
[[Kmitavý pohyb]] tlumeného harmonického oscilátoru je ovlivněn odporem prostředí.
[[Kmitavý pohyb]] tlumeného harmonického oscilátoru je ovlivněn odporem prostředí.
<br />
<br />
Proto je celková síla působící na oscilátor dána vektorovým součtem síly působící na oscilátor ve výchylce y směrem do rovnovážné polohy ('''F<sub>o</sub>''') a síly tlumící, která má směr opačný('''F<sub>t</sub>''').
Proto je celková síla působící na oscilátor dána vektorovým součtem síly působící na oscilátor ve výchylce y směrem do rovnovážné polohy (<math>F_{0}</math>) a síly tlumící, která má směr opačný(<math>F_{t}</math>).
<br />
<br />
Vzorec : '''<big>F = F<sub>o</sub> + F<sub>t</sub> </big>'''
Vzorec : <math>F=F_{0}+F_{t}</math>
<br />
<br />
'''F<sub>o</sub>''' je sílá přímo úměrná výchylce '''y''' a tuhosti pružiny '''k'''. Její vzorec : '''F<sub>o</sub> = -k.y'''
<math>F_{0}</math> je sílá přímo úměrná výchylce <math>y</math> a tuhosti pružiny k. Její vzorec : <math>F_{0}=-k\cdot y</math>
<br />
<br />
'''F<sub>t</sub>''' je síla přímo úměrná rychlosti oscilátoru. Je dána vzorcem '''F<sub>t</sub>''' = -b.v'''
<math>F_{t}</math> je síla přímo úměrná rychlosti oscilátoru. Je dána vzorcem <math>F_{t}=-b\cdot v</math>
<br />
<br />
Proto můžeme výslednou sílu vyjádřit jako: '''<big>F = -k.y - b.v </big>'''
Proto můžeme výslednou sílu vyjádřit jako: <math> F=-k\cdot y-b\cdot v</math>


== Typy tlumení ==
== Typy tlumení ==
[[Soubor:Damped oscillation graph.svg|thumb|Damped oscillation graph|thumb|Graf slabého tlumení]]
[[Soubor:Damped oscillation graph.svg|náhled|Damped oscillation graph|náhled|Graf slabého tlumení]]
Podle toho, jaká tlumící síla na oscilátor působí, můžeme tlumení rozlišit na slabé, silné a kritické.
Podle toho, jaká tlumící síla na oscilátor působí, můžeme tlumení rozlišit na slabé, silné a kritické.


Řádek 31: Řádek 31:
O slabém tlumení hovoříme v případě, že oscilátor koná [[periodický pohyb]], ale jeho amplituda klesá s časem.
O slabém tlumení hovoříme v případě, že oscilátor koná [[periodický pohyb]], ale jeho amplituda klesá s časem.
<br />
<br />
Pro amplitudu výchylky v daném čase platí : '''y<sub>m</sub> = y <sub>m0</sub>. e<sup>(-b.t)/2m</sup>'''
Pro amplitudu výchylky v daném čase platí : <math>y_{m}=y_{m0}\cdot e^{-\frac{-b\cdot t}{2m}}</math>
[[Soubor:Over n crit damped osc xt.png|Over n crit damped osc xt|thumb|220mpx| Graf silného tlumení(modře) a kritického tlumení(zeleně)]]
[[Soubor:Over n crit damped osc xt.png|Over n crit damped osc xt|náhled|220mpx| Graf silného tlumení(modře) a kritického tlumení(zeleně)]]
=== Silné tlumení ===
=== Silné tlumení ===
O silném tlumení mluvíme v případě, kdy se oscilátor nepohybuje periodicky (koná pohyb aperiodický). To znamená, že nikdy nepřesáhne svou rovnovážnou polohu, jen se k ní pomalu (asymptoticky) blíží. Pro tento pohyb také platí, že '''ω <sub>0</sub>''' < '''δ'''.
O silném tlumení mluvíme v případě, kdy se oscilátor nepohybuje periodicky (koná pohyb aperiodický). To znamená, že nikdy nepřesáhne svou rovnovážnou polohu, jen se k ní pomalu (asymptoticky) blíží. Pro tento pohyb také platí, že <math>\omega_{0}<\delta</math>.


=== Kritické tlumení ===
=== Kritické tlumení ===
O kritické tlumení se jedná v případě, že oscilátor koná tzv. mezní aperiodický pohyb.  
O kritické tlumení se jedná v případě, že oscilátor koná tzv. mezní aperiodický pohyb.
<br />
<br />
To znamená, že se oscilátor nerozkmitá, ale v co nejkratším čase dosáhne rovnovážné polohy.  
To znamená, že se oscilátor nerozkmitá, ale v co nejkratším čase dosáhne rovnovážné polohy.
<br />
<br />
Pro toto tlumení platí : '''ω <sub>0</sub>''' = '''δ'''
Pro toto tlumení platí : <math>\omega_{0}=\delta</math>
<noinclude>
<noinclude>
== Odkazy ==
== Odkazy ==
=== Související články ===
=== Související články ===
*[[Harmonický oscilátor]]
* [[Harmonický oscilátor]]
=== Zdroj ===
=== Zdroj ===
*http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/162-tlumene-kmitani
* http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/162-tlumene-kmitani
*http://home.zcu.cz/~mika/MM/Motivace%20MM/kmity.html
* http://home.zcu.cz/~mika/MM/Motivace%20MM/kmity.html
*http://fyzika.fce.vutbr.cz/doc/vyuka_schauer/mechanicke_kmity.pdf
* http://fyzika.fce.vutbr.cz/doc/vyuka_schauer/mechanicke_kmity.pdf
*https://cs.wikipedia.org/wiki/Tlumen%C3%A9_kmit%C3%A1n%C3%AD
* https://cs.wikipedia.org/wiki/Tlumen%C3%A9_kmit%C3%A1n%C3%AD
*http://kdf.mff.cuni.cz/vyuka/materialy/analyticka_reseni_pohybu_castic_a_teles.pdf
* http://kdf.mff.cuni.cz/vyuka/materialy/analyticka_reseni_pohybu_castic_a_teles.pdf
*http://artemis.osu.cz/vops2/prikl/sem01.pdf
* http://artemis.osu.cz/vops2/prikl/sem01.pdf
=== Použitá literatura ===
=== Použitá literatura ===
* {{Citace
* {{Citace

Aktuální verze z 28. 3. 2025, 10:46


S tlumeným harmonickým oscilátorem se setkáváme v reálných podmínkách. (Na rozdíl od harmonického oscilátoru, který by mohl existovat jen v ideálních podmínkách). Dochází u něj k částečné přeměně energie kmitavého pohybu na jiné formy energie (například na vnitřní energii nebo na energii potřebnou k překonání třecí síly) a vzniká tlumené kmitání. Pokud dodáme energii pouze na začátku pohybu, pohyb postupně úplně zanikne.

Tlumené kmitání[upravit | editovat zdroj]

Jak už bylo na začátku řečeno, s tlumeným kmitáním se setkáváme v případě, že se část energie kmitavého pohybu přemění na energii jinou. Tlumení kmitání harmonického oscilátoru je závislé na hustotě prostředí, ve kterém kmitá. Tlumení je větší ve vodě než na vzduchu. Dále je závislé na rychlosti, kterou oscilátor kmitá.
Tlumené kmitání můžeme popsat rovnicí , kde je konstanta úměrnosti mezi odporovou silou a rychlostí tělesa a hmotnost tělesa.

Vlastnosti tlumeného oscilátoru[upravit | editovat zdroj]

Na rozdíl od netlumeného harmonického oscilátoru, kde je amplituda konstantní, se u tlumeného harmonického oscilátoru amplituda exponenciálně zmenšuje (až se stane po určitém čase nulovou). Úhlová frekvence bude menší, než by za samých podmínek byla u netlumeného oscilátoru, a je dána vztahem , kde je úhlová frekvence netlumeného kmitání a je součinitel tlumení (veličina vyjadřující vliv prostředí na kmitavý pohyb mechanického oscilátoru). Z toho, že úhlová frekvence tlumeného harmonického oscilátoru bude menší než u netlumeného, můžeme dále odvodit, že frekvence bude také menší a perioda vyšší.

Dynamika harmonického oscilátoru[upravit | editovat zdroj]

Kmitavý pohyb tlumeného harmonického oscilátoru je ovlivněn odporem prostředí.
Proto je celková síla působící na oscilátor dána vektorovým součtem síly působící na oscilátor ve výchylce y směrem do rovnovážné polohy () a síly tlumící, která má směr opačný().
Vzorec :
je sílá přímo úměrná výchylce a tuhosti pružiny k. Její vzorec :
je síla přímo úměrná rychlosti oscilátoru. Je dána vzorcem
Proto můžeme výslednou sílu vyjádřit jako:

Typy tlumení[upravit | editovat zdroj]

Graf slabého tlumení

Podle toho, jaká tlumící síla na oscilátor působí, můžeme tlumení rozlišit na slabé, silné a kritické.

Slabé tlumení[upravit | editovat zdroj]

O slabém tlumení hovoříme v případě, že oscilátor koná periodický pohyb, ale jeho amplituda klesá s časem.
Pro amplitudu výchylky v daném čase platí :

Graf silného tlumení(modře) a kritického tlumení(zeleně)

Silné tlumení[upravit | editovat zdroj]

O silném tlumení mluvíme v případě, kdy se oscilátor nepohybuje periodicky (koná pohyb aperiodický). To znamená, že nikdy nepřesáhne svou rovnovážnou polohu, jen se k ní pomalu (asymptoticky) blíží. Pro tento pohyb také platí, že .

Kritické tlumení[upravit | editovat zdroj]

O kritické tlumení se jedná v případě, že oscilátor koná tzv. mezní aperiodický pohyb.
To znamená, že se oscilátor nerozkmitá, ale v co nejkratším čase dosáhne rovnovážné polohy.
Pro toto tlumení platí :


Odkazy[upravit | editovat zdroj]

Související články[upravit | editovat zdroj]

Zdroj[upravit | editovat zdroj]

Použitá literatura[upravit | editovat zdroj]

  • LEPIL, Oldřich. Malý lexikon fyziky. 1. vydání. Praha : Prometheus, 1995. ISBN 80-85849-77-1.
  • LANK, Vladimír a Miroslav VONDRA. Fyzika v kostce. 2. vydání. 2002. ISBN 80-7200-335-6.