Tlumený harmonický oscilátor

S tlumeným harmonickým oscilátorem se setkáváme v reálných podmínkách. (Na rozdíl od harmonického oscilátoru, který by mohl existovat jen v ideálních podmínkách). Dochází u něj k částečné přeměně energie kmitavého pohybu na jiné formy energie (například na vnitřní energii nebo na energii potřebnou k překonání třecí síly) a vzniká tlumené kmitání. Pokud dodáme energii pouze na začátku pohybu, pohyb postupně úplně zanikne.

Tlumené kmitání

Jak už bylo na začátku řečeno, s tlumeným kmitáním se setkáváme v případě, že se část energie kmitavého pohybu přemění na energii jinou. Tlumení kmitání harmonického oscilátoru je závislé na hustotě prostředí, ve kterém kmitá. Tlumení je větší ve vodě než na vzduchu. Dále je závislé na rychlosti, kterou oscilátor kmitá.
Tlumené kmitání můžeme popsat rovnicí $y=e^{-{\frac {b\cdot t}{2m}}}\cdot y_{m}\cdot \sin(\omega t+\phi _{0})$, kde $b$ je konstanta úměrnosti mezi odporovou silou a rychlostí tělesa a $m$ hmotnost tělesa.

Vlastnosti tlumeného oscilátoru

Na rozdíl od netlumeného harmonického oscilátoru, kde je amplituda konstantní, se u tlumeného harmonického oscilátoru amplituda exponenciálně zmenšuje (až se stane po určitém čase nulovou). Úhlová frekvence $\omega$ bude menší, než by za samých podmínek byla u netlumeného oscilátoru, a je dána vztahem $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}$, kde $\omega _{0}$ je úhlová frekvence netlumeného kmitání a $\delta$ je součinitel tlumení (veličina vyjadřující vliv prostředí na kmitavý pohyb mechanického oscilátoru). Z toho, že úhlová frekvence tlumeného harmonického oscilátoru bude menší než u netlumeného, můžeme dále odvodit, že frekvence bude také menší a perioda vyšší.

Dynamika harmonického oscilátoru

Kmitavý pohyb tlumeného harmonického oscilátoru je ovlivněn odporem prostředí.
Proto je celková síla působící na oscilátor dána vektorovým součtem síly působící na oscilátor ve výchylce y směrem do rovnovážné polohy ($F_{0}$) a síly tlumící, která má směr opačný($F_{t}$).
Vzorec : $F=F_{0}+F_{t}$
$F_{0}$ je sílá přímo úměrná výchylce $y$ a tuhosti pružiny k. Její vzorec : $F_{0}=-k\cdot y$
$F_{t}$ je síla přímo úměrná rychlosti oscilátoru. Je dána vzorcem $F_{t}=-b\cdot v$
Proto můžeme výslednou sílu vyjádřit jako: $F=-k\cdot y-b\cdot v$

Typy tlumení

Graf slabého tlumení

Podle toho, jaká tlumící síla na oscilátor působí, můžeme tlumení rozlišit na slabé, silné a kritické.

Slabé tlumení

O slabém tlumení hovoříme v případě, že oscilátor koná periodický pohyb, ale jeho amplituda klesá s časem.
Pro amplitudu výchylky v daném čase platí : $y_{m}=y_{m0}\cdot e^{-{\frac {-b\cdot t}{2m}}}$

Graf silného tlumení(modře) a kritického tlumení(zeleně)

Silné tlumení

O silném tlumení mluvíme v případě, kdy se oscilátor nepohybuje periodicky (koná pohyb aperiodický). To znamená, že nikdy nepřesáhne svou rovnovážnou polohu, jen se k ní pomalu (asymptoticky) blíží. Pro tento pohyb také platí, že $\omega _{0}<\delta$.

Kritické tlumení

O kritické tlumení se jedná v případě, že oscilátor koná tzv. mezní aperiodický pohyb.
To znamená, že se oscilátor nerozkmitá, ale v co nejkratším čase dosáhne rovnovážné polohy.
Pro toto tlumení platí : $\omega _{0}=\delta$

Odkazy

Související články

• Harmonický oscilátor

Zdroj

• http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/162-tlumene-kmitani
• http://home.zcu.cz/~mika/MM/Motivace%20MM/kmity.html
• http://fyzika.fce.vutbr.cz/doc/vyuka_schauer/mechanicke_kmity.pdf
• https://cs.wikipedia.org/wiki/Tlumen%C3%A9_kmit%C3%A1n%C3%AD
• http://kdf.mff.cuni.cz/vyuka/materialy/analyticka_reseni_pohybu_castic_a_teles.pdf
• http://artemis.osu.cz/vops2/prikl/sem01.pdf

Použitá literatura

• LEPIL, Oldřich. Malý lexikon fyziky. 1. vydání. Praha : Prometheus, 1995. ISBN 80-85849-77-1.

• LANK, Vladimír a Miroslav VONDRA. Fyzika v kostce. 2. vydání. 2002. ISBN 80-7200-335-6.