Harmonický oscilátor

Harmonický oscilátor je těleso, které koná harmonický kmitavý pohyb. Harmonický kmitavý pohyb je takový pohyb, kdy těžiště tělesa nepřekročí určitou konečnou vzdálenost od své rovnovážné polohy. Tuto maximální výchylku nazýváme amplituda. Harmonický pohyb je pohybem periodickým, který můžeme popsat harmonickou funkcí (sinus, kosinus).

Harmonický pohyb může být netlumený, kdy neuvažujeme vliv odporu prostředí. V reálných podmínkách však pozorujeme tlumený harmonický pohyb, kdy se projeví účinek brzdících sil a amplituda s časem klesá.

Příklady harmonických oscilátorů mohou být např. těleso zavěšené na pružině, atom v molekule.

Základní pojmy

Harmonický pohyb je pohybem periodickým, je tedy charakterizovaný veličinami, které se v čase periodicky mění.

Kmit je děj, v jehož průběhu se tyto veličiny vrátí k původním hodnotám.

Perioda [T]=s je doba, za kterou těžiště oscilátoru vykoná jeden kmit.

Frekvence [f]=Hz=s^-1 je počet kmitů, které těžiště oscilátoru vykoná za jednotku času. Jedná se o převrácenou hodnotu periody.

Okamžitá výchylka y je okamžitá vzdálenost těžiště oscilátoru od jeho rovnovážné polohy. Nabývá kladných i záporných hodnot. Diagram vyjadřující závislost této okamžité výchylky y na čase t se nazývá časový diagram a má tvar sinusoidy.

Časový diagram

Amplituda y_m je absolutní hodnota největší výchylky.

Harmonický pohyb je přímočarý kmitavý pohyb, těžiště oscilátoru tedy kmitá po přímce.

Kinematika harmonického pohybu

Při harmonickém pohybu se okamžitá výchylka y mění s časem t podle funkce sinus (popř. kosinus). Tento děj popisuje rovnice harmonického pohybu.

Rovnice harmonického pohybu

y = y_m sin (ωt + φ₀) (popř. y = y_m cos (ωt + φ₀)).

ωt + φ₀=φ - fáze kmitavého pohybu

[ω]= 1 rad.s^-1 - úhlová frekvence kmitavého pohybu

φ₀ - počáteční fáze kmitavého pohybu v čase t=0 (pokud v čase t=0 prochází oscilátor rovnovážnou polohou, pak φ₀=0)

Pro úhlovou frekvenci ω platí - ω = 2π/T = 2πf.

Rychlost harmonického pohybu

Okamžitou rychlost v kmitavém harmonickém pohybu dostaneme derivací rovnice harmonického pohybu podle času.

v = dy/dt = ω.y_m cos (ωt + φ₀)

Maximální hodnota okamžité rychlosti je určena rovnicí v_m = ω.y_m .

Zrychlení harmonického kmitavého pohybu

Okamžitou hodnotu zrychlení v kmitavém harmonickém pohybu dostaneme derivací rovnice okamžité rychlosti v kmitavém harmonickém pohybu podle času.

a = dv/dt = -ω².y_m sin (ωt + φ₀) = -ω².y.

Dynamika harmonického pohybu

Dynamická podmínka harmonického pohybu

Harmonické kmitání mechanického oscilátoru je způsobeno silou F, jejíž velikost je přímo úměrná výchylce y a má v každém okamžiku směr do rovnovážné polohy:
F = –ky
Konstantou úměrnosti je tuhost pružiny k, která je charakteristickou vlastností pružiny oscilátoru.

Tuhost pružiny

k=F/Δl,
kde Δl je prodloužení pružiny. Tuhost pružiny je tím větší, čím větší sílu potřebujeme k jejímu prodloužení o stejnou délku. Jednotka tuhosti je newton na metr (N·m-1) .

Přeměny energie v harmonickém oscilátoru

Konstantní mechanickou energii E harmonického oscilátoru můžeme určit v kterémkoli bodě trajektorie jako součet kinetické energie E_K a potenciální energie tělesa E_P v daném bodě. (Neuvažujeme disipativní síly, platí zákon zachování mechanické energie):
E = E_K + E_P

Potenciální energie

Potenciální energie tělesa hmtonosti m, které je připojeno k dokonalé pružině o silové konstantě k, na které působí lineární návratná síla je:
E_P (x) = (1/2) kx²,
kde x je bod o souřadnici x.

Kinetická energie

Rychlost harmonického pohybu je v okamžiku, kdy oscilátor dosáhne krajních poloh, nulová. V těchto bodech je tedy i kinetická energie nulová. Při průchodu rovnovážnou polohou je rychlost, a tedy i kinetická energie maximální.
Platí vztah: E = (1/2)mv²

Celková energie

Po úpravách dostáváme:
E = 1/2 ky_m² = 1/2mv²_max = konst,
kde y_m je amplituda – maximální výchylka závaží z rovnovážné polohy, v_max je maximální rychlost závaží – rychlost v rovnovážné poloze.
Při harmonickém kmitavém pohybu se periodicky mění potenciální energie kmitání v energii kinetickou a naopak. Celková energie oscilátoru je konstantní.

Odkazy

Použitá literatura

• HOFMANN, Jaroslav. Fyzika I. 1. vyd. Praha: VŠCHT, 1998, 241 s. ISBN 80-7080-314-2.
• TARÁBEK, Pavol a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z fyziky. Vyd. 2. Brno: Didaktis, 2006, 224 s. Odmaturuj!. ISBN 80-735-8058-6.
• LANK, Vladimír a Petra ČERVINKOVÁ. Fyzika v kostce. 3. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 2004, 120 s. Odmaturuj!. ISBN 80-720-0968-0.
• LEPIL, BEDNAŘÍK,HÝBLOVÁ, Fyzika II. 3.vyd. Praha: Prometheus, 2006. ISBN 978-80-7196-185-7